Dérivée des fonctions polynômes

Le tableau ci-dessous rappelle les dérivées des fonctions puissances \(f:x \mapsto x^n\) pour \(n=1\) ; \(n=2\) et \(n=3\). 
\(\begin{array}{||||} \hline\text{Fonction } f & \text{Fonction dérivée} f'  \\ \hline f(x)=x & f'(x)=1  \\ \hline f(x)=x^2 & f'(x)=2x  \\ \hline f(x)=x^3  & f'(x)=3x^2\\ \hline\end{array}\)

On peut généraliser ces formules à des entiers naturels \(n\) supérieurs ou égal à \(4\).

Propriété (Admise)

Soit \(n\) un entier naturel non nul.
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\boxed{f(x)=x^n}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\),  \(\boxed{f'(x)=nx^{n-1}}\).

Exemples

• Si \(f(x)=x^7\), alors \(f'(x)=7x^6\).
• Si \(g(x)=x^{15}\), alors \(g'(x)=15x^{14}\).

Propriété (Rappels)

Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(k\) un nombre réel.

• La fonction \(u+v\) est dérivable sur \(I\) et \(\boxed{(u+v)'=u'+v'}\).
  
• La fonction \(k \times u\) est dérivable sur \(I\) et \(\boxed{(k \times u)'=k \times u'}\).

Exemples

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=3\color{blue}{x^8}-7\color{green}{x^5}+2\color{red}{x^4}-5\color{orange}{x^2}+8\color{purple}{x}-\color{brown}{100}\).
La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\) :
\(h'(x)=3 \times \color{blue}{8x^7}-7 \times \color{green}{5x^4}+2 \times \color{red}{4x^3}-5 \times \color{orange}{2x}+8 \times \color{purple}{1}-\color{brown}{0}\)
soit \(h'(x)=24x^7-35x^4+8x^3-10x+8\).